分数阶模型
1. 模型介绍
图1 电化学阻抗谱中的弥散效应
图1展示了动力电池电化学阻抗谱测试结果，其中频部分为一个圆心位于横轴下方的半圆，一般认为与电极和电解液界面处的双电层有关。在拟合这种特性时，研究人员发现使用纯电容元件的等效电路模型往往不能达到理想的拟合精度。实验测得的双电层频响特性和纯电容不一致的现象被称为“弥散效应。这种与纯电容的偏离，可以通过常相位角元件(CPE :Constant phase element)进行拟合，因此发展出了分数阶频域模型。其中，常相位角元件的阻抗表达式如表1所示。
表1 常相位角元件阻抗表达式
如表1所示，常相位角元件有两个参数：第一个是Y，其量纲为sαΩ-1；第二个是α，它是一个无量纲指数，用来衡量常相位角元件偏离纯电容元件的程度，0<α<1。若α=0，则常相位角元件为纯电阻元件；若α=1，则为纯电容元件。
通过将Thevenin模型中的纯电容元件替换为常相位角元件，可建立如图2所示的分数阶模型。
图2 一种常用的分数阶频域模型结构框图
在分数阶模型中，常相位角元件常与纯电阻并联使用，其阻抗记作Zarc，其表达式如表2所示。将式（1）（2）（3）联立，消去Y可得式（4）。从式（4）可以发现，图1中阻抗谱的圆弧可以用该方程进行拟合。参数α越大，圆弧圆心偏离实轴的距离越大，也证明纯电容元件（α=1）无法拟合弥散效应。
表2 分数阶模型并联网络的阻抗表达式
2. 主要公式
分数阶模型的传递函数可以表示为
| （1） |
联立，得
| （2） |
整理，得
| （3） |
对式（3）进行反拉氏变换，在第k个采样时刻，得
| （4） |
其中，Dαf(k)表示对f(k)的分数阶微/积分，α>0表示分数阶微分，α<0表示分数阶积分。在这里，0<α<1，为分数阶微分。
分数阶微分有三种常用的定义，分别是G-L定义、R-L定义和Caputo定义，如表3所示。
表3 分数阶微分常用定义
对于大多数函数，G-L定义和R-L定义完全等效，其中R-L定义在理论分析研究中最为常用，Caputo定义更适用于分数阶微分方程初值问题的描述和讨论，而G-L定义则为离散化近似提供了最直接的形式和方法。
3. 主要结果
以40℃条件下某动力电池单体的DST工况数据进行模型参数辨识，其中α=0.8辨识的端电压误差如图3所示。端电压最大误差在8mV以内，可见，分数阶模型也具有精确的端电压预测性能。
图 3 DST工况下分数阶模型在线辨识的端电压误差
4. 参考文献
[1] 熊瑞. 动力电池管理系统核心算法[M]. 北京：机械工业出版社，2018. （第三章)
[2] J. Tian, R. Xiong*, W. Shen and W. Ju, “A Comparative Study of Fractional Order Models on State of Charge Estimation for Lithium-ion Batteries”, Chinese Journal of Mechanical Engineering, vol. 33, pp. 51, Jul 2020.(下载链接)
[3] J. Tian, R. Xiong*, W. Shen, J. Wang and R. Yang, “Online simultaneous identification of parameters and order of a fractional order battery model”, Journal of Cleaner Production, vol. 247, pp. 119147, Feb 2020. (下载链接)
[4] R. Xiong*, J.Tian, W. Shen and F. Sun, “A novel fractional order model for state of charge estimation in lithium ion batteries”, IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 68, no.5, pp.4130-4139, May 2019. (下载链接)
[5] H. Mu, R. Xiong*, H. Zheng, Y. Chang and Z. Chen, “A novel fractional order model-based state-of-charge estimation method for lithium-ion battery”, Applied Energy, vol. 207, pp. 379-388, Dec 2017.(下载链接)
5. 可用资源
(1) 分数阶模型资料: 点击下载(
PDF水印教材)
